Proportionaler Dreisatz - Verhältnisgleichung - Dreisatz
Beispielaufgaben - Formel - Lösungsweg
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Wie könnten Sie den Begriff Dreisatz definieren?
Der Dreisatz ist ein mathematisches Lösungsverfahren, um aus beispielsweise drei gegebenen Werten eines Verhältnisses, den unbekannten vierten Wert zu ermitteln. Mit der Hilfe des Dreisatzes, welcher auch als Verhältnisgleichung bezeichnet wird, lassen sich auch viele Prozentrechnungen lösen.
Beim Berechnen einer Verhältnisgleichung ist zuerst zu prüfen ob, wie in den nachfolgenden Beispielaufgaben beschrieben, der proportionale Dreisatz als Lösungsweg angewendet werden muss. Um ein unproportionales Verhältnis zu berechnen, müssen Sie, für die Berechnung der Verhältnisgleichung, den Rechenweg für den umgekehrten Dreisatz anwenden.
Proportional steigender Dreisatz
Beispiel - proportionaler Dreisatz, steigend
Rechenbeispiel: 10 Kg Äpfel (a) kosten 20,50 €. (b) Wie viel teuer (x) sind dann 16 Kg (c) Äpfel?
Schlussfolgerung: Wenn das Gewicht (c), für das der Preis ermittelt werden soll steigt, dann muss auch der Wert der Ware (x), ansteigen.
Formel: b / a * c = x
20,50 € / 10 * 16 = 32,80 €
Schritt für Schritt zur Lösung
Falls Sie Schwierigkeiten haben, aus der Aufgabe, die oben genannte Formel abzuleiten, kann es Ihnen helfen, das nachfolgende Schema zu verwenden:
1. Zuerst notieren Sie sich bitte, wie nachfolgend aufgeführt, rechts unten, den gesuchten Wert (x) mit der dazugehörigen Einheit.
? = ?
? = x €
2. Darüber, auf der gleichen Seite, wird nun der Wert "b" eingesetzt. Dieser besitzt immer die gleiche Einheit wie x.
? = 20,50 €
? = x €
Merke: Gleiche Einheiten müssen immer auf derselben Seite stehen.
3. Im nächsten Schritt tragen Sie den Wert, welcher gegeben und bekannt ist, (a) samt Einheit oben auf der linken Seite der Verhältnisgleichung ein.
10 Kg = 20,50 €
? = x €
4. Zum Abschluss setzen Sie den letzten Wert, samt Einheit, links unten ein.
10 Kg = 20,50 €
16 Kg = x €
Wie bereits oben schon richtig geschlussfolgert, wird in diesem Beispiel, der unbekannte Wert (x) größer.
Das bedeutet: Alle Werte der unteren Zeile sind größer, als die Werte in der oberen Zeile. Es handelt sich hier um einen proportional steigenden Dreisatz.
Die Lösung
Jetzt ist die Auflösung der Beispielaufgabe denkbar einfach. Lösen Sie das Schma entgegen dem Uhrzeigersinn wie folgt auf:
1. Entfernen Sie die gegebenen doppelten Einheiten (Kg), um im Endergebnis die richtige Einheit (€) zu erhalten.
2. Dividieren Sie den Wert rechts (20,50 €), durch Wert links oben (10). Sie erhalten ein Zwischenergebnis.
3. Multiplizieren das Zwischenergebnis (2,05 €) mit dem letzten Wert (16), links unten. Sie erhalten das Endergebnis.
2,05 € * 16 = 32,80 €
Der Lösungsweg auf einen Blick:
20,50 € / 10 * 16 = 32,80 €
Antwortsatz: 16 Kg Äpfel kosten 32,80 €.
Proportional fallender Dreisatz
Beispiel - proportionaler Dreisatz, fallend
Rechenbeispiel: Der Inhalt einer Großpackung, 15 Kg, (b) reicht für 600 Tassen (a) Kaffee, welche Menge benötigt man für (c) 120 Tassen?
Schlussfolgerung: Die Menge (in Kg), welche für 600 Tassen Kaffee benötigt wird, ist größer als die Menge, die für 120 Tassen Kaffee benötigt wird. Der Verbrauch in Kg (x) muss ebenfalls geringer werden.
Beim proportional fallenden Dreisatz gilt die gleiche Formel, wie beim proportional steigenden Dreisatz.
Formel: b / a * c = x
Lösung: 15 Kg / 600 Tassen * 120 Tassen = 3 kg
Auflösung
Wenn Sie das gleiche Schema, welches oben beim proportional steigenden Dreisatz angewendet wurde, für den proportional fallenden Dreisatz verwenden, dann sieht Ihr Lösungsansatz, nach dem vierten Schritt, so aus:
600 Tassen = 15 Kg
120 Tassen = x Kg
Wie bereits oben schon richtig geschlussfolgert wird, bei dieser Beispielaufgabe, der unbekannte Wert "x" kleiner.
Alle Werte der unteren Zeile sind kleiner, als die Werte in der oberen Zeile. Es handelt sich deshalb um einen proportional fallenden Dreisatz.
Lösen Sie das Schema ebenso wie beim ersten Beispiel, entgegen dem Uhrzeigersinn wie folgt auf:
1. Entfernen Sie die gegebenen doppelten Einheiten (Tassen),
2. Dividieren Sie den Wert rechts (15 Kg), durch Wert links oben (600).
3. Multiplizieren Sie das Zwischenergebnis mit dem letzten Wert (120), links unten um das Endergebnis zu erhalten.
Lösung auf einen Blick:
15 Kg / 600 * 120 = 3 Kg
Antwortsatz: Für 120 Tassen Kaffee werden 3 Kg Kaffe benötigt.
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